В стереометрии изучаются пространственные фигуры, однако на чертеже они изображаются в виде плоских фигур. Каким же образом следует изображать пространственную фигуру на плоскости?
Обычно в геометрии для этого используется параллельное проектирование. Пусть p - некоторая плоскость, l - пересекающая ее прямая (рис.
Частный случай параллельного проецирования, при котором направление проецирования перпендикулярно плоскости проекций, принято называть прямоугольным или ортогональным проецированием. Прямоугольной (ортогональной) проекцией точки называют основание перпендикуляра, проведенного.
Через произвольную точку A, не принадлежащую прямой l, проведем прямую, параллельную прямой l. Точка пересечения этой прямой с плоскостью p называется параллельной проекцией точки A на плоскость p в направлении прямой l.
Обозначим ее A'. Если точка A принадлежит прямой l, то параллельной проекцией A на плоскость p считается точка пересечения прямой l с плоскостью p. Если прямая параллельна или совпадает с прямой l, то ее проекцией в направлении этой прямой является точка. Если прямая не параллельна и не совпадает с прямой l, то ее проекцией является прямая.
Ортогональное Проецирование И Его Свойства Реферат
Ясно, что если прямая k параллельна или совпадает с прямой l, то ее проекцией в направлении этой прямой на плоскость p будет точка пересечения прямой l и плоскости p. Пусть k не параллельна и не совпадает с прямой l (рис. Возьмем какую-нибудь точку A на прямой k и проведем через нее прямую a, параллельную l. Ее пересечение с плоскостью проектирования p даст точку A', являющуюся проекцией точки A. Через прямые a и k проведем плоскость a. Ее пересечением с плоскостью p будет искомая прямая k', являющаяся проекцией прямой k. Проекция отрезка при параллельном проектировании есть точка или отрезок, в зависимости от того лежит он на прямой, параллельной или совпадающей с прямой l, или нет.
С предприятие 8 автосервис торрент. 6 системы программ '1С:Предприятие 8' с сохранением всех основных возможностей и механизмов этого типового решения.
Параллельное проектирование сохраняет отношение длин отрезков, лежащих на прямой, не параллельной и не совпадающей с прямой l. В частности, при параллельном проектировании середина отрезка переходит в середину соответствующего отрезка. Ясно, что если отрезок лежит на прямой, параллельной или совпадающей с прямой l, то его проекцией будет точка. Пусть точки A, B и C лежат на прямой k, не параллельной и не совпадающей с прямой l; k' – проекция прямой k на плоскость p в направлении прямой l; A', B', C' – проекции точек A, B и Cсоответственно; a, b, c – соответствующие прямые, проходящие через эти точки и параллельные прямой l (рис.
Тогда из теоремы Фалеса планиметрии следует равенство отношений AB: BC = A'B': B'C'. В частности, если точка B - середина отрезка AC, то B' - середина отрезка A'C'.
Свойство 3. Если две параллельные прямые не параллельны прямой l, то их проекции в направлении l могут быть или параллельными прямыми или одной прямой. Пусть k 1, k 2 - параллельные прямые, не параллельные прямой l. Так же как и при доказательстве первого свойства, рассмотрим плоскости a 1, a 2, линии пересечения которых с плоскостью p дают проекции k 1 ', k 2 ' прямых k 1, k 2 соответственно (рис. Если плоскости a 1 и a 2 совпадают, то проекции прямых k 1 и k 2 также совпадают. Если эти плоскости различны, то они параллельны между собой, по признаку параллельности плоскостей (прямая k 1 параллельна прямой k 2, прямая A 1 A 1 ' параллельна прямой A 2 A 2 ' ). В силу свойства параллельных плоскостей, линии пересечения этих плоскостей с плоскостью p параллельны. При изображении пространственных фигур на плоскости особенно важно уметь правильно изображать плоские фигуры, поскольку они входят в поверхность основных пространственных фигур.
Например, плоские многоугольники являются гранями многогранников, круги - основаниями цилиндров и конусов. Если плоская фигура F лежит в плоскости, параллельной плоскости проектирования p, то ее проекция F' на эту плоскость будет равна фигуре F.
Ортогональное Проецирование Реферат
Пусть A, B – точки фигуры F и A ’, B ’ – их параллельные проекции (рис. Тогда ABB ’ A ’ – параллелограмм. Поэтому параллельный перенос на вектор переводит точку B в B ’. Поскольку точку B фигуры F можно выбирать произвольно, то этот параллельный перенос переводит фигуру F в фигуру F ’. Значит фигуры F и F ’ равны.